場合の数の問題は条件に合うのが何通りかを数える問題です。しかし、全体を書いて数えると大変ですから、答を求める前に問題の条件をいくつかの場合に分けて考えるのが鉄則です。これを場合分けといいます。問題を分けることによって、解きやすくなり、ミスも防ぐことができますから、場合分けはしっかり身につけたいところです。
2023年の灘中学1日目 場合の数の問題にチャレンジしてみましょう。
【問題】
6個の数、1、2、3、4、5、6を2個ずつ3つのグループＡ、Ｂ、Ｃに分けます。Ａに含まれる2つの数のうち大きい方が、Ｂに含まれる2つの数のうち大きい方よりも大きくなるような分け方は全部で□通りです。
【解説】
ＡにもＢにも2個ずつ数が含まれますから、Ａに含まれる2個の数のうち大きい方は最も小さくて4であることがわかります。最も大きい数は6ですから、この数が4の場合、5の場合、6の場合の3つの場合に分けて考えます。
① Ａに含まれる2個の数のうち大きい方が4の場合
1、2、3がＡかＢに含まれることがわかります。
Ａにはこのうち1つの数字が含まれますから3通りです
② Ａに含まれる2個の数のうち大きい方が5の場合
1、2、3、4がＡかＢに含まれることがわかります。
Ａにはこのうち1個の数字が含まれますから4通り、
Ｂには残りの3個の数字から2個が含まれますから3通り
よって、4×3＝12通りです。
③ Ａに含まれる2個の数のうち大きい方が6の場合
1、2、3、4、5がＡかＢに含まれることがわかります。
Ａにはこのうち1個の数字が含まれますから5通り、
Ｂには残りの4個の数字から2個が含まれますから6通り
よって5×6＝30通りです。
①②③より計45通りになります。