こんにちは。大宮校の宮下です。
今回も前回に引き続き、算数のアプローチについて考察してみます。
例① ３７㎞を１１．１分で進むとき，２４分で何㎞進みますか。
速さを求めると、３７÷１１．１×６０＝２００より時速２００㎞。
この速さで２４分進むと、２００×２４÷６０＝８０㎞になる。
というのが一般的な解き方ですが、面白みもなく計算も面倒です。
同じ速さであれば割合や比は等しいはずです。
この問題を図式化してみると、
１１．１分 → ３７㎞
２４分 → ㎞
３７×３＝１１１ より、時間を１０倍して３で割ると道のりになることがわかるので、
２４×１０÷３＝８０（㎞）と同じ答えを暗算で出すことができました。
８０㎞という答えを出すのに、面倒な計算を回避できるのです。これが算数の醍醐味です。数学と根本的なとらえ方が違います。直線的に解くのではなく、面の広がりを持たせることで、結果的に答えに短距離で向かうことができるのです。ゴリゴリ計算もしていないので、いわゆる計算ミスの予防にもなります。
ちなみに、前出の ３７×３＝１１１ は受験生の常識です。
このほかにも、７×１１×１３＝１００１ ７３×１３７＝１０００１ は必須です。
更に発展させたものとして、１１×１０１＝１１１１ ３×７×１１×１３×３７＝１１１１１１
１１×７３×１０１×１３７＝１１１１１１１１ などもあります。
例② １，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，５５，… の８９番目と９０番目の和はいくつですか。
三角数という階差数列の問題です。
たとえば９番目は、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝（１＋９）×９÷２＝４５で、
１０番目は、１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝（１＋１０）×１０÷２＝５５です。
８９番目は（１＋８９）×８９÷２＝４００５、９０番目は（１＋９０）×９０÷２＝４０９５なので、
４００５＋４０９５＝８１００ というのが一般的な解き方です。
ですが、この三角数には興味深い性質があるので、それを利用するととてもエレガントに解くことができます。
９番目と１０番目の和は、４５＋５５＝１００ になりますね。実はこの１００は、１０番目の１０の平方数になっているのです。
ですから８９番目と９０番目の和は、９０×９０＝８１００ になります。
また、８９番目と９０番目の差は９０ですから、このことを利用すると、８９番目と９０番目を簡単に求めることができます。
９０÷２＝４５
９０×９０＝８１００ ８１００÷２＝４０５０
となるので、
８９番目…４０５０－４５＝４００５
９０番目…４０５０＋４５＝４０９５
等差数列の和の公式でゴリゴリ計算して解くよりもスマートになりましたね。
ちなみに、三角数は、１から始まる整数の和として式を立てますが、このことを利用して式を作ると、Ｎ番目の三角数＝(Ｎ×Ｎ＋Ｎ)÷２ というとてもシンプルな形になります。
この三角数にはほかにもこんな性質があります。
| ① | ② | ③ | ④ | ⑤ | ⑥ | ⑦ | ⑧ | ⑨ | ⑩ | ||
| 三角数 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 | 55 | … |
| 三角数の平方 | 1 | 9 | 36 | 100 | 225 | 441 | 784 | 1296 | 2025 | 3025 | … |
| 立方数 | 1 | 8 | 27 | 64 | 125 | 216 | 343 | 512 | 729 | 1000 | … |
連続する三角数の平方の差は、同順の立方数になっています。
例えば、三角数の９番目の平方数と１０番目の平方数はそれぞれ４５×４５＝２０２５と５５×５５＝３０２５ですが、その差は３０２５－２０２５＝１０００で、これは１０×１０×１０＝１０００と同じです。
この法則はどの２つにも当てはまります。
考察の結論ですが、【当たり前と思って、使っているその式は本当に最善の手法なのか】、【まだまだ自分の知らないアプローチの仕方があるのではないか】、という問いかけを常にしていくことができれば、筑駒・御三家・駒東に近づくことができるのではないでしょうか。