今年雙葉中学で出題された［３］規則性の問題について考えてみましょう。
【問題】
5353/5291を小数で表します。
(1) 小数第8位まで計算しましょう。（筆算）
(2) 小数第100位の数字は何ですか。またその数字は小数第100位までに，いくつありますか。
(3) 2019番目の1は小数第何位ですか。
【解説】
(1)で5353÷5291の筆算をして，小数点以下の数が周期になっていることを使って解く問題です。普通はこのように解くでしょう。しかしやはり面倒です。筆算をせずにどんな数列の繰り返しになっているかを知る方法があります。数が無限に繰り返す循環小数の基本は次の通りです。なぜこうなるのかは各自で考えてみてくださいね。
１／９＝0.1111…… （1の繰り返し）
１／99＝0.01010…… （01の繰り返し）
１／999＝0.00100100…… （001の繰り返し）
……
よって5291を何倍かして各位に9が連続する数になるように倍分すればよいわけです。ここで，5291＝11×13×37 と素因数分解をします。11×13，そして37という数字から，有名なかけ算を思い出すことができるでしょうか。
11×13×7＝1001，37×3＝111
この2つのかけ算は有名なので知っておきましょう。
このことから，5291×7×3＝1001×111＝111111 となり，5291×7×3×9＝999999
つまり，5291は189倍すれば9が6つ連続する数になるわけです。よって，5353÷5291の商の小数部分は，6つの数の繰り返しであることがわかります。
分子は分母より，62大きいので，62を189倍すると，11718となります。これにより，繰り返す6つの数は，「011718」とわかります。
5353／5291＝1.011718011718011718……
となるわけですね。