少し前のことになりますが，２０１３年の市川中学校で，次のような問題が出題されました。
「１から１００までの１００個の整数の中で連続する整数の和で表わすことのできる整数は何個ありますか」
例えば，１８は１８＝５＋６＋７＝３＋４＋５＋６ですから，連続する整数の和で表わす方法が２通りあります。１２は１２＝３＋４＋５の１通り，１５は１５＝７＋８＝４＋５＋６＝１＋２＋３＋４＋５の３通りの表し方があります。
とは言え，こういった表し方を一つ一つ探していくのはいかにも大変です。実は，「連続する整数の和で表わす方法が何通りあるか」は，「１以外の奇数の約数を何個持っているか」によって求めることができます。１８の場合は３と９で２個，１２の場合は３で１個，１５の場合は３と５と１５で３個，ちょうど連続する整数の和で表わす方法の数と一致しています。
このことの証明は入り組んでいるので省きますが，１以外の奇数の約数と連続する整数の和で表わす方法がどう関係しているのかについての説明をしておきましょう。
○１２の場合…１２の１以外の奇数の約数は３です。
１２÷３＝４より，４を真ん中に置いた３つの連続する整数の和が１２に等しいので，１２＝３＋４＋５となります。
○１５の場合…１５の１以外の奇数の約数は３，５，１５です。
１５÷３＝５より，５を真ん中に置いた３つの連続する整数の和が１５に等しいので，１５＝４＋５＋６
１５÷５＝３より，３を真ん中に置いた５つの連続する整数の和が１５に等しいので，１５＝１＋２＋３＋４＋５
１５÷１５＝１より，１を真ん中に置いた１５個の連続する整数の和が１５に等しいので…，と考えると負の数に立ち入ってしまうので，和が１５になる整数の組が１組あると考えて１５＝７＋８
○１８の場合…１８の１以外の奇数の約数は３，９です。
１８÷３＝６より，６を真ん中に置いた３つの連続する整数の和が１８に等しいので，１８＝５＋６＋７
１８÷９＝２より，和が９になる整数の組が２組あると考えて，（４，５）（３，６）より１８＝３＋４＋５＋６
このようにして，１以外の奇数の約数から連続する整数の和によって表わす方法を見つけることができるのです。さて，元の問題に戻りましょう。連続する整数の和で表わす方法がない整数とは１以外には奇数の約数を持たない整数に他なりません。したがって，素因数分解をした場合に奇数の素数が現れない数，つまりは１か，２だけをいくつかかけ算してできる数ということになります。よって，１，２，４，８，１６，３２，６４の７つということになります。