今回は，１週間前にあげた問題の解答編です（１週間前の記事は「整数2017について①」です）。
まず，問題を再掲します。
ある数を，連続する整数の和で表すことを考えます。例えば，１５は４＋５＋６，１＋２＋３＋４＋５，７＋８という３通りの表し方があります。
（１）２０１７には１通りの表し方があります。それを書きなさい。
（２）２０１７は素数であり，３以上の素数の表し方はみな１通りです。その理由を説明しなさい（長くなっても構いません）。
入試予想問題というよりは，素数について考えを深めておくことが目的でした。では，解答を載せます。
（１）１００８＋１００９
（２）※解答例※まず，３以上の素数を奇数個の連続する整数の和で表すことはできない。１５＝４＋５＋６の場合，連続する整数の真ん中の数５に個数の３をかけると１５になるように，真ん中の数×個数＝もとの数が成り立つが，素数をこのような積の形で表すことはできない。
次に，２個の連続する整数の和で表すことはできる。３以上の素数は全て奇数であるから，２で割ると□.５となる。□.５×２＝２×□＋１＝□＋（□＋１）より，□と□＋１の和で表すことができる。
最後に，４以上の偶数個の連続する整数の和で表すことはできない。１４＝２＋３＋４＋５の場合，連続する整数の平均３.５がちょうど４つの整数の真ん中の数となるように，真ん中の数□.５×個数＝もとの数となる。４以上の偶数は２×△（※△は１より大きい整数）で表せるので，もとの数＝□.５×個数＝□.５×２×△となるが，□.５×２は整数なので，□.５×２と△がもとの数の約数となってしまう。これは，もとの数が素数であるという条件にあわない。
よって，３以上の素数はみな，２個の連続する整数の和でのみ表すことができる。
いかがでしょう。素数とは大まかに言えば「余計な約数を一切持たない数」です。そのために，素因数分解に表されるように，他の整数の「素材」として用いられることが多いのですが，素数自身にもいろいろと興味を引く側面があります。この夏，お子様と一緒にいろいろと調べてみるのも面白いかもしれませんね。