1、11、111、1111、11111……と各位に1が並ぶ数のことをレピュニットといいます。また、これらの中で素数である数のことをレピュニット素数といいます。
レピュニット素数を小さい順に探してみましょう。まず、1は素数ではありません。素数とは、1とそれ自身では割りきれない整数、つまり約数を2個持つ整数のことです。1の約数は1しかありませんから、1は素数ではないというわけです。素数ではない数のことを合成数といいます。
11は素数ですね。すぐに1つレピュニット素数が見つかりました。1ばかり並んでいる数ですから、素数は多いように思えますね。しかし実は11の次に小さいレピュニット素数は19ケタの1111111111111111111なのです。意外ですね。本当にそうなのか調べてみましょう。
111は各位の和が3ですから、3の倍数です。ということは、3の倍数ケタのレピュニットはすべて3で割りきれる合成数ということがわかります。
1111は11でわれますね。ということは、偶数ケタのレピュニットはすべて11で割りきれますから合成数です。
すると、19ケタまでに残るのは、11111（5ケタ）、1111111（7ケタ）、11111111111(11ケタ)、1111111111111(13ケタ)、11111111111111111(17ケタ)になりますね。これらはすべて合成数ということになります。本当でしょうか。
ここでへえそうなんだといって終わらせる生徒と、実際に計算してみようという生徒がいます。算数・数学が好きで得意になるのは実際に計算してみようとする生徒です。自力でも頑張れば5ケタの11111は素因数分解できるかもしれません。11111＝41×271 です。
しかし、7ケタとなるとなかなか難しいでしょう。1111111＝239×4649です。
これを自力で計算して見つけるのはなかなか大変です。しかしそんなとき、真の算数好きの中にはこれを覚えようとする人もいます。239×4649ですから、「にいさんここ×よろしく」など語呂合わせで覚えるのもいいですね。
しかし11ケタ以上になるとそれもなかなか難しいと思います。
11ケタ→11111111111＝21649×513239
13ケタ→1111111111111＝53×79×265371653
17ケタ→11111111111111111＝2071723×5363222357
この3つの場合(11ケタ、13ケタ、17ケタ)は、算数好きな生徒の中には、かけ算を筆算でやってみて本当にレピュニットになるかどうかを確かめて楽しむ人もいるようです。
チャレンジしてみてはいかがでしょうか。